Toán học · ~42.000 năm trước – nay

Phép đếm và con số

Từ vết khía trên xương 42.000 năm trước đến 10 chữ số ta dùng hôm nay — loài người đã học cách đếm, gom nhóm và viết số theo vị trí, có số 0.

Đã kiểm chứng nguồn · chờ duyệt

Mẩu xương có 29 vết khía

Khoảng 42.000 năm trước, trong một hang đá ở miền nam châu Phi, có người cầm một mẩu xương chân khỉ đầu chó và khía lên đó từng vết, từng vết một.[1],[3]

Ngày nay hang ấy tên là Border Cave, ở tỉnh KwaZulu-Natal của Nam Phi. Các nhà khảo cổ đếm được trên mẩu xương 29 vết khía nằm thẳng hàng. Xương đã gãy một đầu, nên lúc đầu có thể còn nhiều vết hơn.[1],[2]

Rồi họ đặt mẩu xương dưới kính hiển vi, và thấy một điều lạ.

Nhà khảo cổ Francesco d’Errico cho rằng mỗi nhóm vết là một lần ai đó ghi lại một con số.[3] Ghi số gì? Số ngày? Số con thú săn được? Không ai biết. Và cũng có nhà nghiên cứu nhắc rằng một vết khía chưa chắc đã là một con số.[3]

Nhưng hãy tự hỏi: nếu con phải nhớ một số lượng thật chính xác trong nhiều ngày, mà chưa có chữ viết, chưa có giấy bút — con sẽ làm gì?

Thế giới lúc ấy

40.000 TCN

Hang Border Cave. Trong cùng những lớp đất với mẩu xương khía vạch, các nhà khảo cổ còn tìm thấy hạt chuỗi làm từ vỏ trứng đà điểu, những mũi nhọn bằng xương giống mũi tên của người San ở châu Phi ngày nay, gậy đào đất, và một cục sáp ong trộn nhựa cây.

[1],[2]
22.000 TCN

Trái Đất đang ở đỉnh kỷ băng hà. Từ khoảng 26.500 đến 19.000 năm trước, các khối băng phủ một vùng rộng nhất. Nước bị giữ lại trong băng nhiều đến mức mực nước biển thấp hơn bây giờ hơn 100 mét.

[33],[34]
18.000 TCN

Bên hồ Edward, giữa châu Phi. Ở nơi ngày nay là Ishango (Cộng hoà Dân chủ Congo), một nhóm người sống bằng săn bắt và đánh cá. Họ để lại hàng trăm mũi lao có ngạnh làm bằng xương, cùng xương cá, xương hà mã, xương linh dương. Họ cũng để lại một chiếc xương khắc vạch nổi tiếng — con sẽ gặp nó ngay bên dưới.

[4],[5]
15.000 TCN

Hang Lascaux, nước Pháp. Khoảng 17.000 năm trước, người ta vẽ và khắc lên vách hang rất nhiều hình ngựa, bò rừng, hươu. Hang chỉ được tìm lại vào ngày 12 tháng 9 năm 1940.

[35],[5]

Vấn đề

Một vạch cho một thứ — rồi sao nữa?

Khía một vạch cho mỗi thứ là cách đếm dễ nhất. Nhưng nhiều vạch quá thì rất khó đọc.

Con thử ngay: lấy giấy, vẽ 29 vạch liền một hàng. Rồi vẽ lại 29 vạch, nhưng cứ 4 vạch đứng thì gạch chéo vạch thứ 5 để khoá thành một nhóm. Nhờ một bạn nhìn cả hai hàng: hàng nào bạn ấy đọc ra “29” nhanh hơn?

Năm 1950, bên hồ Edward, nhà địa chất người Bỉ Jean de Heinzelin tìm thấy một chiếc xương dài chừng 10 cm, đầu còn gắn mẩu thạch anh.[4],[6] Nó có khoảng 20.000 năm tuổi (các nguồn chênh nhau vài nghìn năm) và nay nằm ở Viện Khoa học Tự nhiên Hoàng gia Bỉ, thành phố Brussels.[4],[5],[7]

Trên xương có khoảng 168 vết khắc, xếp thành ba cột, mỗi cột lại gom thành từng nhóm:[4],[5]

(Vài vết bị mờ, nên có người đếm nhóm “10” thành 9.[6])

Dù hiểu thế nào, có một điều ta thấy tận mắt: người Ishango đã gom các vạch thành nhóm. Đó là bước đầu tiên để đếm những số lớn.

Thẻ đất sét và chiếc “phong bì”

Giờ hãy nhảy qua hơn mười nghìn năm: từ Ishango (khoảng 20.000 năm trước) tới vùng Lưỡng Hà và lân cận (nay là Iraq, Syria, Iran), nơi con người đã làm ruộng và phải đếm lúa, dầu, gia súc.[8]

Các nhà khảo cổ tìm thấy ở đây rất nhiều viên đất sét nhỏ hình nón, hình cầu, hình trứng, hình trụ. Nhà khảo cổ Denise Schmandt-Besserat cho rằng đó là thẻ đếm, có từ khoảng 7500 năm trước Công nguyên: mỗi hình ứng với một loại hàng, và hai hũ dầu là hai viên hình trứng.[8] Vẫn là “một thẻ cho một thứ”.

Rồi nảy ra một chuyện rắc rối. Cuối thiên niên kỷ thứ 4 trước Công nguyên — hơn 5.000 năm trước — để giữ một khoản nợ cho chắc, người ta bọc thẻ vào một quả cầu đất sét rỗng, to cỡ quả bóng chày — một kiểu “phong bì”.[9],[8] Nhưng phong bì đã dán kín thì làm sao biết bên trong có gì, nếu không đập vỡ nó?

Theo Schmandt-Besserat, người ta ấn các thẻ lên mặt ngoài khi đất còn ướt, rồi mới bỏ thẻ vào trong. Nhìn dấu bên ngoài là biết bên trong.[8]

Con đoán xem bước tiếp theo là gì? Nếu dấu bên ngoài đã đủ cho biết số lượng, thì… cần gì những viên thẻ bên trong nữa!

Lý thuyết thẻ đếm này rất nổi tiếng, nhưng không phải ai cũng đồng ý với mọi phần của nó.[9],[10]

🔍 Thêm chuyện về thẻ đất sét

Nhìn xuyên qua phong bì. Ngày nay các nhà khảo cổ không cần đập vỡ nữa: họ chụp cắt lớp (CT) những “phong bì” còn nguyên, tìm thấy ở Choga Mish (Iran), để thấy thẻ nằm bên trong.[11]

33 hũ dầu. Schmandt-Besserat kể về một bảng đất sét từ khoảng năm 3100 trước Công nguyên: 33 hũ dầu không còn cần 33 viên thẻ hay 33 dấu ấn nữa, mà được viết bằng 3 dấu “mười”, 3 dấu “một”, rồi một ký hiệu “hũ dầu”. Theo bà, đó là lúc con số bắt đầu tách khỏi đồ vật.[8]

Các nhà nghiên cứu khác thì thận trọng hơn. Paul Zimansky cho rằng ý “mọi viên thẻ suốt mấy nghìn năm là cùng một hệ thống, và từng hình thẻ biến thành từng chữ” thiếu bằng chứng.[9] Nhóm của Peter Damerow chỉ ra rằng ở thời ấy, những loại hàng khác nhau thường được ghi bằng những bộ dấu số khác nhau: trên cùng một bảng có tới năm hệ đếm khác nhau, cho lúa, cho bia… Một hệ con số dùng chung cho mọi thứ, như con số của con hôm nay, còn xuất hiện muộn hơn.[10]

Vậy là người xưa còn một câu hỏi lớn: làm sao viết những số thật lớn mà không cần cả nghìn ký hiệu?

Con thử xem

Trước khi đọc tiếp, hãy chơi với chiếc máy dưới đây. Nhập một số bất kỳ, máy sẽ viết nó theo bốn cách: hệ 10 của chúng ta, hệ 60 của người Lưỡng Hà, hệ 20 của người Maya và hệ 2 của máy tính.

🧪 Máy đổi hệ đếm

Một số, nhiều cách viết: người Lưỡng Hà đếm theo 60, người Maya theo 20, máy tính theo 2.

    Thử lần lượt các số 59, 60 và 61. Hàng nào thay đổi? Rồi thử 3.599, 3.600, 3.661. Con có đoán ra 3.600 đặc biệt ở chỗ nào không?

    Thử tiếp 19, 20, 400 và xem hệ 20 thay đổi ra sao.

    Điều loài người tìm ra

    Qua hàng chục nghìn năm, loài người tìm ra ba ý lớn:

    1. Đếm là ghép từng thứ với một dấu. Một vạch, một viên thẻ, một ngón tay — cho mỗi con cừu.
    2. Gom nhóm. Đủ một nhóm thì thay bằng một dấu lớn hơn. Nhóm có thể là 10, 20 hay 60 — gọi là cơ số của hệ đếm.
    3. Viết theo vị trí, và có số 0. Cùng một chữ số, đứng ở hàng khác thì có giá trị khác. Hàng nào trống thì viết 0 để giữ chỗ.

    Máy thử của con làm đúng như thế. Số 3.661 trong hệ 60 viết là 1 | 1 | 1: một nhóm 3.600, một nhóm 60 và 1 đơn vị — giống hệt 1 giờ 1 phút 1 giây!

    Chặng đường tiếp sức

    1. 40.000 TCNThời tiền sử

      Ở hang Border Cave (Nam Phi), có người khắc 29 vết lên một mẩu xương khỉ đầu chó, làm nhiều lần bằng ít nhất bốn lưỡi đá khác nhau.[1],[2]

    2. 18.000 TCNThời tiền sử

      Xương Ishango bên hồ Edward (Congo): khoảng 168 vết khắc xếp thành ba cột, chia nhóm rõ ràng.[4],[5]

    3. 3300 TCNLưỡng Hà (Sumer, Babylon)

      Thẻ đếm bằng đất sét được bọc trong “phong bì” đất sét; dấu ấn bên ngoài dần thành chữ số viết trên bảng đất sét.[8],[9]

    4. 2000 TCNLưỡng Hà (Sumer, Babylon)

      Người Babylon viết số theo hệ 60 và theo vị trí: cùng một ký hiệu, đứng ở hàng khác thì giá trị khác.[12],[14]

    5. năm 292Maya

      Người Maya viết số theo hệ 20 bằng chấm và gạch, có ký hiệu hình vỏ ốc cho số 0. Bia đá số 29 ở Tikal mang ngày tháng ứng với khoảng năm 292.[15],[16],[17]

    6. năm 628Ấn ĐộBrahmagupta

      Hệ thập phân theo vị trí có số 0; Brahmagupta viết các quy tắc tính với 0 như với một con số thật.[18],[23]

    7. năm 813Thế giới Hồi giáoal-Khwarizmi

      Năm 813, al-Ma'mun lên làm khalip (vua Hồi giáo) ở Baghdad. Dưới thời ông, al-Khwarizmi làm việc ở Nhà Thông thái. Sau cuốn Đại số, ông viết sách dạy cách tính bằng chữ số Ấn Độ; sách được dịch sang tiếng Latin.[26],[25],[27]

    8. năm 1202Châu ÂuFibonacci

      Cuốn Liber Abaci giới thiệu chín chữ số Ấn Độ và số 0 cho người châu Âu.[28],[29]

    Lưỡng Hà — hệ 60. Hệ đếm theo 60 bắt nguồn từ người Sumer; người Babylon thừa hưởng nó và viết số theo vị trí.[12],[14] Kiểu đếm ấy đã sống sót khoảng 4.000 năm, tới tận chiếc đồng hồ của con.[13],[14] Họ chỉ cần hai ký hiệu: một dấu cho “một”, một dấu cho “mười”.[12] Nhưng lúc đầu họ chưa có số 0, nên hàng trống dễ gây nhầm lẫn; mãi về sau mới có một dấu riêng để đánh dấu chỗ trống.[12] Vì sao lại chọn 60? Không ai biết chắc.[12],[14]

    Maya — hệ 20. Ở châu Mỹ, bên kia đại dương, người Maya đếm theo 20. Một chấm là 1, một gạch là 5, và một ký hiệu giống vỏ ốc là 0. Số được viết theo cột, hàng đơn vị ở dưới cùng.[15],[16] Thời Cổ điển của người Maya kéo dài từ khoảng năm 250 đến năm 900.[15] Bia đá số 29 ở thành Tikal mang một ngày tháng Maya ứng với khoảng năm 292.[17]

    Ấn Độ — số 0 thành một con số. Người Ấn Độ viết số theo hệ 10, theo vị trí, với một dấu cho hàng trống. Ở Ấn Độ, dòng chữ khắc có số 0 sớm nhất mà niên đại không ai tranh cãi là ở Gwalior, năm 876.[20],[19],[23]

    Ngay gần Việt Nam còn có số 0 cổ hơn: một bia đá ở Campuchia, khắc vào cuối thế kỷ 7 (khoảng năm 683), đã dùng một ký hiệu số 0.[22],[21]

    Năm 2017, Thư viện Bodleian (Anh) công bố rằng một lá của bản thảo Bakhshali (có những dấu chấm làm số 0) có từ thế kỷ 3–4, nhưng nhiều nhà sử học toán học không đồng ý với cách hiểu ấy.[23],[24]

    Năm 628, Brahmagupta viết một cuốn sách coi 0 là một con số thật, với các quy tắc như “0 trừ 0 bằng 0”.[18],[23] Ông còn viết “0 chia 0 bằng 0” — điều ngày nay ta biết là sai.[18] Người đi đầu cũng có thể nhầm!

    Baghdad — chữ số đi về phía tây. Ở thế kỷ 9, al-Khwarizmi — một học giả của Nhà Thông thái ở Baghdad thời vị khalip (vua Hồi giáo) al-Ma’mun — viết một cuốn sách dạy cách tính bằng chữ số Ấn Độ.[26],[25] Bản tiếng Ả Rập đã mất; chỉ còn bản dịch tiếng Latin. Từ “algorithm” (thuật toán) bắt nguồn từ tên ông.[25],[27]

    Châu Âu — Fibonacci. Leonardo ở thành Pisa (Ý), sau này gọi là Fibonacci, học chữ số Ấn Độ ở Bugia (nay là Bejaia, Algeria), nơi cha ông làm việc ở trạm thuế.[28] Năm 1202, cuốn Liber Abaci của ông mở đầu thế này:[29]

    “Chín chữ số Ấn Độ là: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Với chín chữ số này và với ký hiệu 0, mà người Ả Rập gọi là zephir, có thể viết bất kỳ số nào.”

    Dù vậy, người châu Âu còn mất vài trăm năm nữa mới quen hẳn với cách viết số này.[27]

    🔍 Đào sâu: viết số theo vị trí bằng công thức

    Chọn một cơ số b (ví dụ 10, 20, 60 hay 2). Mỗi số tự nhiên N viết được đúng một cách dưới dạng

    N = aₖ × bᵏ + … + a₂ × b² + a₁ × b + a₀,

    trong đó mỗi chữ số aᵢ là một số từ 0 đến b − 1. Ta ghi gọn: aₖ | … | a₁ | a₀.

    Cách đổi một số sang cơ số b: chia N cho b, ghi lại số dư — đó là chữ số hàng cuối. Lấy thương chia tiếp cho b, ghi số dư — chữ số hàng kế. Cứ thế cho tới khi thương bằng 0. Đọc các số dư từ dưới lên.

    Ví dụ đổi 7.400 sang hệ 60:

    • 7.400 : 60 = 123, dư 20
    • 123 : 60 = 2, dư 3
    • 2 : 60 = 0, dư 2

    Vậy 7.400 = 2 | 3 | 20, tức là 2 × 3.600 + 3 × 60 + 20.

    Vì sao cần số 0? Không có 0 thì “1 1” trong hệ 60 có thể là 1 × 60 + 1 = 61, mà cũng có thể là 1 × 3.600 + 0 × 60 + 1 = 3.601. Số 0 giữ chỗ cho hàng trống, nên mỗi cách viết chỉ ứng với một số.

    Vì sao 60 tiện? Không ai biết chắc người Sumer chọn 60 vì lý do gì. Nhưng có một điều tự kiểm được: 60 chia hết cho 12 số (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60), còn 10 chỉ chia hết cho 4 số (1, 2, 5, 10). Vì vậy một giờ chia đôi, chia ba, chia tư, chia năm, chia sáu… đều ra số phút tròn.

    Lịch Maya hơi khác: khi đếm ngày, hàng thứ ba của người Maya không phải 20 × 20 = 400 mà là 18 × 20 = 360, gần với số ngày trong một năm.[15],[16]

    Ứng dụng quanh con

    Chiếc đồng hồ. Một giờ có 60 phút, một phút có 60 giây — đó là hệ 60 còn sống đến hôm nay. Góc cũng vậy: một độ chia thành 60 phút, mỗi phút lại chia 60 giây; cách chia này đã có trong sách thiên văn Almagest của Ptolemy, khoảng năm 150.[14],[13] Con sẽ gặp lại độ, phút, giây khi xem toạ độ trên bản đồ.

    Chiếc điện thoại. Máy tính và điện thoại lưu mọi thứ — chữ, ảnh, bài hát — bằng hệ 2, chỉ có hai chữ số 0 và 1. Hãy nhập số 13 vào máy thử ở trên: trong hệ 2 nó là 1101.

    Vạch kiểm phiếu. Lần tới lớp con bầu lớp trưởng, con có thể ghi mỗi phiếu một vạch và gom các vạch thành nhóm 5, như con đã thử ở trên. Cũng là ý “gom nhóm” như trên xương Ishango.

    Que kiểm đếm làm cháy cả toà Quốc hội. Từ thế kỷ 12 đến đầu thế kỷ 19, Ngân khố nước Anh ghi tiền thuế và tiền nợ bằng những thanh gỗ khía vạch. Mỗi thanh được chẻ đôi; mỗi bên giữ một nửa, khi cần thì ghép lại xem các vạch có khớp không.[30],[31] Năm 1826, cách ghi này bị bỏ hẳn.[30],[31]

    Thử thách sáng tạo

    🧩 Thử thách sáng tạo

    1. Bậc 1 · Phát hiện

      Trên xương Ishango, cột thứ nhất có các nhóm 11, 13, 17, 19 vết; cột thứ ba có 11, 21, 19, 9 vết. Hãy cộng từng cột. Mỗi cột có tổng bao nhiêu vết?

    2. Bậc 2 · Tự kiểm chứng

      Một số trong hệ 60 được viết là 2 | 3 | 20 (hàng trái là hàng 3.600, hàng giữa là hàng 60, hàng phải là hàng đơn vị). Trong hệ 10 nó là bao nhiêu? Tính xong, hãy nhập kết quả vào máy đổi hệ đếm để tự kiểm chứng.

    3. Bậc 3 · Mở rộng

      Viết 1 | 0 | 0 nghĩa là “1 ở hàng thứ ba, hai hàng sau trống”. Trong hệ 10 nó là 100; trong hệ 60 nó là 3.600; trong hệ 2 nó là 4. Vậy trong hệ 20 thuần (không theo lịch), 1 | 0 | 0 bằng bao nhiêu?

    4. Bậc 4 · Phá vỡ

      Hãy tưởng tượng một người viết số theo hệ 60 nhưng chưa có số 0: chỉ thấy hai dấu “1” và “1”. Con đọc là 1 × 60 + 1 = 61. Nhưng nếu giữa hai dấu ấy thực ra có một hàng trống bị bỏ qua thì số đó là bao nhiêu?

    5. Bậc 5 · Vì sao?

      Không ai biết chắc vì sao người Sumer chọn 60, nhưng 60 có một ưu điểm dễ thấy. Số 60 chia hết cho bao nhiêu số tự nhiên (kể cả 1 và 60)?

    6. Bậc 6 · Con ra đề

      Hãy tự nghĩ ra một hệ đếm của riêng con: chọn cơ số (vì sao chọn số đó?), vẽ ký hiệu cho từng chữ số và cho số 0. Viết năm sinh của con và năm nay bằng hệ ấy, rồi ra một câu đố đổi số cho bạn bè giải. Dùng máy đổi hệ đếm để kiểm tra nếu con chọn cơ số 2, 20 hoặc 60.

      Bài này không có một đáp án duy nhất. Con hãy tự thử, ghi ra giấy, và tự hỏi: “Vì sao lại như vậy?”

    Rễ và cành

    🌱 Rễ — cần biết trước

    Đây là một điểm khởi đầu — không cần biết gì trước cả.

    🌿 Cành — được dùng ở

    Nguồn

    1. F. d'Errico, L. Backwell, P. Villa và cộng sự (2012). Early evidence of San material culture represented by organic artifacts from Border Cave, South Africa. PNAS 109(33): 13214–13219. Xem · nghiên cứu
    2. F. d'Errico, L. Doyon, I. Colagé và cộng sự (2018). From number sense to number symbols. An archaeological perspective. Philosophical Transactions of the Royal Society B 373: 20160518. Xem · nghiên cứu
    3. Colin Barras (2021). How did ancient humans learn to count?. Nature 594: 22–25. Xem · tham khảo
    4. Viện Khoa học Tự nhiên Hoàng gia Bỉ (RBINS) & ADIA (2018). Ishango. Trang của bảo tàng đang giữ xương Ishango. Xem · tham khảo
    5. C. Ruggles & M. Cotte (chủ biên) (2010). Heritage Sites of Astronomy and Archaeoastronomy — Case Study 1.3: The Ishango Bone; 1.4: Lascaux. ICOMOS – Hiệp hội Thiên văn Quốc tế (IAU). Xem · nghiên cứu
    6. Vladimir Pletser (2012). Does the Ishango bone indicate knowledge of the base 12?. arXiv:1204.1019. Xem · nghiên cứu
    7. V. Pletser & D. Huylebrouck (2016). Contradictions and narrowness of views in “The fables of Ishango, or the irresistible temptation of mathematical fiction”, answers and updates. arXiv:1607.00860. Xem · nghiên cứu
      Bài trả lời, có trích các lời phê phán của Olivier Keller (2010)
    8. Denise Schmandt-Besserat (2013). Tokens and Writing: the Cognitive Development. Symbols at ‘Ain Ghazal, Ex Oriente, Berlin, tr. 56–62. Xem · nghiên cứu
    9. Paul Zimansky (1993). Điểm sách: Before Writing (D. Schmandt-Besserat). Journal of Field Archaeology 20(4): 513–517. Xem · nghiên cứu
    10. Jürgen Renn (2019). Learning from Kushim About the Origins of Writing and Farming. Culture and Cognition: Essays in Honor of Peter Damerow, Max Planck Research Library (Proceedings 11). Xem · nghiên cứu
    11. Samir S. Patel (2014). Mesopotamian Accounts Receivable. Archaeology, số tháng 3–4/2014. Xem · tham khảo
    12. J. J. O'Connor & E. F. Robertson (2000). Babylonian numerals. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    13. J. J. O'Connor & E. F. Robertson (2000). An overview of Babylonian mathematics. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    14. Michael A. Lombardi (2007). Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day?. Scientific American. Xem · tham khảo
    15. J. J. O'Connor & E. F. Robertson (2000). Mayan mathematics. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    16. David Lippman. The Mayan Numeral System. Math in Society (LibreTexts). Xem · tham khảo
    17. Penn Museum. Tikal 1959. Expedition Magazine. Xem · tham khảo
    18. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. Brahmagupta. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    19. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. Indian numerals. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    20. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. A history of Zero. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    21. Frank Swetz & Shaharir bin Mohamad Zain (2022). The Elusive Origin of Zero. Scientific American. Xem · tham khảo
    22. Amir D. Aczel (2014). The Origin of the Number Zero. Smithsonian Magazine. Xem · tham khảo
    23. Đại học Oxford – Thư viện Bodleian (2017). Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol ‘zero’. Xem · tham khảo
    24. K. Plofker, A. Keller, T. Hayashi, C. Montelle, D. Wujastyk (2017). The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library’s Radiocarbon Dating. History of Science in South Asia 5(1): 134–150. Xem · nghiên cứu
    25. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. Al-Khwarizmi. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    26. G. J. Toomer (2008). Al-Khwārizmī, Abū Ja‘far Muḥammad ibn Mūsā. Complete Dictionary of Scientific Biography (Charles Scribner’s Sons, 2008). Xem · nghiên cứu
    27. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. The Arabic numeral system. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    28. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. Leonardo Pisano Fibonacci. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    29. A. F. Horadam (2004). Điểm sách: Fibonacci’s Liber Abaci, bản dịch tiếng Anh của L. E. Sigler (Springer 2002). The Fibonacci Quarterly 42(1). Xem · nghiên cứu
    30. Science Museum Group. Medieval Exchequer Tally Sticks. Science Museum Group Collection (co60506). Xem · tham khảo
    31. University of London – Senate House Library. Exchequer tallies (Fuller Collection). Xem · tham khảo
    32. Museum of Scottish Fire Heritage. The Palace of Westminster Fire – 16 October 1834. Xem · tham khảo
    33. P. U. Clark và cộng sự (2009). The Last Glacial Maximum. Science 325: 710–714. Xem · nghiên cứu
    34. K. Lambeck, H. Rouby, A. Purcell, Y. Sun, M. Sambridge (2014). Sea level and global ice volumes from the Last Glacial Maximum to the Holocene. PNAS 111(43): 15296–15303. Xem · nghiên cứu
    35. Denis Vialou & Patrick Paillet. Lascaux. Encyclopædia Universalis. Xem · tham khảo