Toán học · ~3.800 năm trước – nay

Phép nhân

Nhân đôi rồi cộng ở Ai Cập, bảng nhân hệ 60 của học trò Babylon, bảng nhân trên thẻ tre Trung Hoa — loài người đã học cách đếm thật nhanh từng nhóm bằng nhau.

Đã kiểm chứng nguồn · chờ duyệt

Bảy ngôi nhà, bảy con mèo

Ở Bảo tàng Anh (British Museum), thành phố London, có một cuộn giấy cói Ai Cập đã hơn 3.500 năm tuổi. Nó chứa rất nhiều bài toán.[3],[5]

Ở bài số 79, người chép viết ra một bảng lạ:[1],[2]

Số lần Kết quả
1 2.801
2 5.602
4 11.204
Tổng 19.607

Bên cạnh là một danh sách: nhà 7, mèo 49, chuột 343, lúa mì… Các nhà nghiên cứu đoán đây là một câu đố: 7 ngôi nhà, mỗi nhà có 7 con mèo, mỗi con mèo bắt 7 con chuột, mỗi con chuột ăn 7 bông lúa… Hỏi tất cả có bao nhiêu?[1],[2]

Con thử ngay: cộng 2.801 + 5.602 + 11.204. Rồi tính 2.801 × 7 theo cách con đã học ở lớp. Hai kết quả có bằng nhau không?

Lạ thật: người chép muốn nhân với 7, mà trong cột “Số lần” không có số 7 nào. Chỉ có 1, 2 và 4. Vì sao?

Ở bài Phép đếm và con số, con đã thấy loài người gom nhóm để đếm nhanh hơn. Phép nhân là bước tiếp theo: đếm cả một nhóm bằng nhau trong một lần. “7 nhóm, mỗi nhóm 2.801” chính là 2.801 × 7. Nhưng khi chưa có bảng cửu chương, người ta đếm những nhóm ấy bằng cách nào?

Thế giới lúc ấy

1792 TCN

Vua Hammurabi ở Babylon. Ông trị vì từ khoảng năm 1792 đến 1750 trước Công nguyên. Bộ luật của ông được khắc trên một khối đá bazan cao 2,25 mét. Khối đá được tìm thấy ở Susa (nay thuộc Iran) vào mùa đông 1901–1902 và nay ở Bảo tàng Louvre, Paris.

[12],[13]
1550 TCN

Ai Cập chia đôi. Khi cuộn giấy toán được chép, miền bắc Ai Cập do người Hyksos cai trị, đóng đô ở thành Avaris; người chép ghi năm theo đời vua Hyksos là Apophis. Ở mặt sau cuộn giấy, có người ghi thêm vài dòng: năm thứ 11, thành Heliopolis bị chiếm; rồi tin một thành khác cũng bị chiếm; rồi “thần Set cất tiếng” — tức là có sấm — và “trời mưa”. Cuối thời kỳ này, vua Ahmose đánh chiếm Avaris và đuổi người Hyksos đi, mở đầu thời Tân Vương quốc. (Vua Ahmose và thầy thư lại Ahmose chép cuộn giấy là hai người khác nhau, chỉ trùng tên.)

[6],[3],[1]
221 TCN

Nước Tần thống nhất Trung Hoa. Thời Chiến Quốc khép lại. Những bảng nhân thời Tần (221–206 TCN) được viết thành từng câu ngắn, kiểu “sáu tám bốn mươi tám”. Năm 2002, người ta tìm thấy một thẻ gỗ ghi bảng nhân như vậy trong một giếng cổ ở Lý Da, tỉnh Hồ Nam.

[14],[15],[20]

Vấn đề

Nhân là cộng nhiều lần cùng một số. 2.801 × 7 là 2.801 + 2.801 + 2.801 + 2.801 + 2.801 + 2.801 + 2.801. Với 7 lần thì còn được. Nhưng nếu là 2.801 × 365 thì sao? Cộng 365 lần thì mỏi tay, và rất dễ nhầm.

Thầy thư lại Ai Cập thì làm thế nào? Theo nhà Ai Cập học Eric Peet, họ chỉ nhân thẳng với 2 và với 10. Nhân 10 rất dễ: chỉ việc đổi mỗi ký hiệu “một” thành ký hiệu “mười”, mỗi “mười” thành “trăm”. Các phép nhân khác, họ phải ghép lại chỉ bằng phép cộng.[1],[5],[4]

Vậy câu hỏi cho con là: nếu con chỉ biết nhân đôi và cộng, con có nhân được hai số bất kỳ không?

Con thử xem

Máy dưới đây chỉ biết làm đúng hai việc: nhân đôi và cộng. Nhập một phép nhân, ví dụ 2801 x 7.

🧪 Máy thử: nhân kiểu Ai Cập cổ đại

Nhập phép nhân như "13 x 24". Máy chỉ dùng nhân đôi và cộng — đúng như các thầy thư lại Ai Cập.

    Máy viết từng dòng: số bên trái là 1, 2, 4, 8…, số bên phải là số đầu tiên được nhân đôi liên tiếp. Những dòng có dấu ✓ được cộng lại.

    Thử tiếp:

    Con có nhận ra các số 1, 2, 4, 8, 16… không? Đó chính là các hàng của hệ 2 mà con đã gặp ở bài Phép đếm và con số.

    Điều loài người tìm ra

    1. Nhân là đếm nhiều nhóm bằng nhau. a × b là b nhóm, mỗi nhóm a thứ.
    2. Tách ra rồi cộng lại. Muốn nhân với 13, có thể nhân với 8, với 4, với 1 rồi cộng ba kết quả, vì 13 = 8 + 4 + 1. Hầu hết các cách nhân bằng tay, cổ hay nay, đều dựa vào ý này.
    3. Nhớ sẵn vài phép nhân nhỏ. Người Ai Cập chỉ cần nhớ cách nhân đôi. Học trò Lưỡng Hà và người Trung Hoa học thuộc cả một bảng nhân. Kết hợp với cách viết số theo vị trí, ta nhân được số lớn bằng cách nhân từng chữ số.
    4. Đổi chỗ không đổi kết quả. 13 × 24 = 24 × 13. Chọn cách nào ít bước hơn thì làm cách đó.

    Chặng đường tiếp sức

    1. 1815 TCNLưỡng Hà (Sumer, Babylon)Suen-apil-Urim

      Học trò Lưỡng Hà thời Cổ Babylon học thuộc một chuỗi bảng nhân viết theo hệ 60, mở đầu bằng bảng nghịch đảo để làm phép chia. Một học trò tên Suen-apil-Urim ghi ngày lên bảng nhân 4 của mình: năm thứ 8 đời vua Rim-Sin, khoảng năm 1815 TCN.[8],[9],[7],[10]

    2. 1550 TCNAi Cập cổ đạiAhmose

      Giấy cói Rhind do thầy thư lại Ahmose chép vào khoảng năm 1550 TCN (có nguồn ghi 1650 TCN), theo một bản gốc có trước đó hơn 200 năm. Muốn nhân, người ta nhân đôi liên tiếp rồi cộng những dòng được đánh dấu.[1],[3],[5]

    3. 305 TCNTrung Hoa

      21 thẻ tre thời Chiến Quốc ghép thành một bảng nhân hệ 10 dạng ô kẻ, nhân được các số từ 0,5 đến 99,5. Định tuổi carbon cho khoảng năm 305 TCN (có nguồn ghi 310 TCN).[14],[15],[16]

    4. năm 952Thế giới Hồi giáoal-Uqlidisi

      Ở Damascus, al-Uqlidisi viết sách dạy cách tính kiểu Ấn Độ và chỉ cách làm phép nhân bằng bút mực trên giấy, thay cho tấm bảng bụi phải xoá đi xoá lại.[23],[24]

    5. năm 1150Ấn ĐộBhaskara II

      Sách Lilavati dạy nhiều cách nhân 135 × 12: tách 12 thành 8 + 4, thành 3 × 4, thành 10 + 2 hay 20 − 8. Theo Colebrooke, năm 1150 là năm Bhaskara II hoàn thành bộ sách lớn có phần Lilavati.[25],[26]

    6. năm 1478Châu Âu

      Sách số học in ở Treviso (Ý) năm 1478 có phép nhân lưới, người Ý gọi là gelosia — tên tấm lưới che cửa sổ.[27],[28]

    Ai Cập — nhân đôi và đánh dấu. Người chép cuộn giấy tên là Ahmose (có nơi viết Ahmes). Đầu cuộn, ông ghi rằng mình chép vào năm thứ 33 đời vua Apophis. Ông chép theo một bản cổ có từ thời vua Nimaatre (tức Amenemhat III). Bản cổ ấy có trước đó hơn 200 năm.[1],[3],[5] Năm 1858, ông Henry Rhind người Scotland mua cuộn giấy ở Luxor, nên nay nó mang tên ông.[1],[5] Theo Peet, khi nhân, người chép đánh dấu các dòng cần dùng rồi cộng các số đứng cạnh dấu ấy — giống hệt dấu ✓ trong máy thử của con.[1]

    Ngay ở bài 79 cũng có một chỗ nhầm: dòng “lúa mì” trên giấy cói ghi 2.301, đúng ra phải là 2.401 (= 7 × 343). May mà tổng 19.607 ghi bên dưới vẫn đúng.[1],[2] Con thử cộng lại xem!

    Lưỡng Hà — học thuộc bảng nhân hệ 60. Khoảng thế kỷ 18 trước Công nguyên, Lưỡng Hà đang ở giai đoạn mà các nhà sử học gọi là thời Cổ Babylon (theo tên thành Babylon của vua Hammurabi). Ở các trường dạy chữ, như ở thành Nippur, học trò chép một chuỗi bảng nhân lên bảng đất sét để học thuộc. Mỗi bảng có các dòng nhân với 1 đến 20, rồi với 30, 40 và 50.[7],[10] Số được viết theo hệ 60, như con đã học ở bài Phép đếm và con số. Trong một bảng nhân 9 của học trò tìm thấy ở thành Nippur, dòng “7” ghi kết quả là 1 3: một nhóm 60 và 3 đơn vị, tức là 63.[10]

    Chuỗi bảng ấy mở đầu bằng một bảng nghịch đảo. Người Lưỡng Hà thời ấy không chia trực tiếp: muốn chia cho một số, họ nhân với số nghịch đảo của nó.[7],[11],[10]

    Trung Hoa — bảng nhân trên thẻ tre. Khoảng năm 2008, một cựu sinh viên tặng Đại học Thanh Hoa (Bắc Kinh) gần 2.500 thẻ tre mà ông mua ở một chợ đồ cổ Hồng Kông. Thẻ lấm bùn, bốc mùi và mốc meo.[15],[14] Khi lau sạch và xếp lại, các nhà nghiên cứu thấy 21 thẻ chỉ toàn chữ số. Ghép đúng thứ tự, chúng thành một bảng nhân hệ 10 dạng ô kẻ.[14],[16],[15]

    Hàng trên cùng và cột bên phải có cùng 19 số: 0,5; từ 1 đến 9; và 10, 20, …, 90. Muốn nhân 8 × 7, con tìm 8 ở hàng trên, 7 ở cột phải; kết quả nằm ở ô giao nhau. Số lớn hơn thì tách ra rồi cộng các ô lại. Nhờ vậy, bảng nhân được mọi số nguyên và nửa số nguyên từ 0,5 đến 99,5.[14],[15]

    Định tuổi bằng carbon cho thấy lô thẻ tre có từ khoảng 2.300 năm trước, thời Chiến Quốc.[14],[15] Đó là một trong những bảng nhân hệ 10 cổ nhất từng tìm thấy.[14],[16]

    🔍 Thêm về bảng nhân và que tính ở Trung Hoa

    Cổ nhất hay chưa? Định tuổi carbon cho khoảng năm 305 TCN; có nguồn ghi 310 TCN.[14],[15] Năm 2014, nhà sử học toán Joseph Dauben gọi đây là bảng nhân thập phân cổ nhất thế giới từng tìm thấy. Năm 2017, sách kỷ lục Guinness cũng công nhận như vậy.[14],[16]

    Nhưng năm 2023, các nhà khảo cổ công bố một phát hiện trong một ngôi mộ thời Chiến Quốc ở Kinh Châu (tỉnh Hồ Bắc). Trong mộ có thẻ tre ghi những câu bảng nhân như “năm bảy ba mươi lăm” (5 × 7 = 35). Ngôi mộ được đoán có từ khoảng năm 369–329 TCN, nên có thể còn cổ hơn.[17],[19],[18] Khảo cổ học luôn có thể đổi câu trả lời!

    Que tính. Từ khoảng thế kỷ 4 TCN, người Trung Hoa tính toán bằng những que nhỏ bằng tre hoặc ngà, xếp trên một bàn kẻ ô. Mỗi cột là một hàng: đơn vị, chục, trăm… Que dọc và que ngang thay phiên nhau, ô để trống thay cho số 0.[21],[22] Nhiều thế kỷ sau, bàn tính gảy hạt dần thay cho que tính.[22],[21]

    Ở Việt Nam, ta gọi bảng nhân là “bảng cửu chương”. Nhưng bảng nhân đến với ông cha ta bằng con đường nào, từ bao giờ, thì đến nay chúng ta chưa tìm được tư liệu đáng tin để kể lại.

    Ấn Độ và thế giới Hồi giáo — từ bảng bụi sang trang giấy. Người Ấn Độ tính bằng chữ số thập phân viết theo vị trí.[23] Khi cách tính này truyền sang người Ả Rập, nó được làm trên một tấm bảng phủ bụi: viết chữ số, rồi dịch chỗ, xoá đi, viết lại.[23],[24] Năm 952–953, ở Damascus, al-Uqlidisi viết một cuốn sách dạy cách tính kiểu Ấn Độ. Trong đó ông chỉ cách sửa các phép tính để làm bằng bút mực trên giấy, không cần tấm bảng bụi nữa.[23],[24]

    Vào thế kỷ 12, nhà toán học Ấn Độ Bhaskara II viết sách Lilavati; theo Colebrooke, bộ sách lớn có phần Lilavati được hoàn thành năm 1150.[25],[26] Một bài trong đó mở đầu thế này (dịch từ bản tiếng Anh của Colebrooke):[25]

    “Lilavati xinh đẹp và yêu dấu, đôi mắt như mắt nai con! Hãy nói cho ta biết 135 nhân 12 được bao nhiêu…”

    Rồi sách giải bằng nhiều cách: nhân từng chữ số; tách 12 = 8 + 4; tách 12 = 3 × 4; tách 12 = 10 + 2; hay lấy 135 × 20 rồi trừ 135 × 8. Cách nào cũng ra 1.620.[25] Đó chính là ý “tách ra rồi cộng lại” ở trên!

    Châu Âu — phép nhân lưới. Năm 1478, ở thành Treviso (Ý), người ta in một cuốn sách dạy tính toán cho người học nghề buôn bán. Theo John Boardley, người viết về lịch sử sách in, đó là sách số học in sớm nhất có ghi năm. Trong sách có phép nhân lưới: kẻ một bảng ô, mỗi ô có đường chéo chia đôi hàng chục với hàng đơn vị.[27],[28] Người Ý gọi nó là gelosia, theo tên tấm lưới che cửa sổ.[27]

    🔍 Đào sâu: vì sao nhân đôi là đủ?

    Mọi số đều là tổng của các số 1, 2, 4, 8, 16…, mỗi số dùng nhiều nhất một lần. Đó chính là cách viết số trong hệ 2. Ví dụ 13 trong hệ 2 là 1101, nghĩa là

    13 = 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 8 + 4 + 1.

    Muốn tìm các số ấy, cứ lấy số lớn nhất trong dãy 1, 2, 4, 8… mà không vượt quá số còn lại, trừ đi, rồi làm tiếp. Máy thử của con làm đúng như vậy để đặt dấu ✓.

    Vì sao được phép tách rồi cộng? Vì phép nhân phân phối với phép cộng:

    a × (b + c) = a × b + a × c.

    Nên 24 × 13 = 24 × (8 + 4 + 1) = 24 × 8 + 24 × 4 + 24 × 1 = 192 + 96 + 24 = 312.

    Bảng thẻ tre cũng dùng đúng ý ấy. Để tính 29,5 × 31,5, tách 29,5 = 20 + 9 + 0,5 và 31,5 = 30 + 1 + 0,5. Ba phần nhân với ba phần thành 3 × 3 = 9 ô trong bảng; cộng 9 ô lại là xong.[15]

    Nhân với 10 trong hệ 10, nhân với 2 trong hệ 2. Trong hệ 10, nhân với 10 chỉ là thêm một chữ số 0 vào cuối. Trong hệ 2, nhân với 2 cũng chỉ là thêm một chữ số 0: 1101 (= 13) thành 11010 (= 26). Đó là lý do máy tính “thích” nhân đôi.

    Thêm về học trò Lưỡng Hà. Ở Nippur, các nhà khảo cổ tìm thấy một ngôi nhà, gọi là “Nhà F”, có hơn một nghìn bảng đất sét, phần lớn là bài của học trò. Các bảng ấy bị đem làm vật liệu xây dựng ngay sau năm 1740 TCN, thời vua Samsu-iluna, con trai của Hammurabi.[7] Chuỗi bảng nhân chuẩn đi từ “50 lần” giảm dần tới “1;15 lần” (1 và 15 phần 60). Bảng nhân 24 là bảng thứ 10, bảng nhân 4 là bảng thứ 30.[7],[8]

    Ứng dụng quanh con

    Đi chợ. Lần tới mua 6 hộp sữa cùng giá, con thử tính tiền theo kiểu Ai Cập: giá 1 hộp, nhân đôi được giá 2 hộp, nhân đôi nữa được giá 4 hộp, rồi cộng dòng 4 với dòng 2.

    Lát gạch. Nhìn nền nhà hoặc sân trường lát gạch vuông: đếm số viên trên một hàng, đếm số hàng, rồi nhân. Con vừa đếm “nhiều nhóm bằng nhau” mà không phải đếm từng viên.

    Nấu ăn. Công thức cho 4 người mà nhà có 8 người? Nhân đôi mọi thứ. 12 người? Lấy lượng cho 8 người cộng với lượng cho 4 người — đúng kiểu bảng của Ahmose.

    Bên trong máy tính. Máy tính làm tính với các số viết trong hệ 2.[29] Một cách nhân đơn giản mà các giáo trình kiến trúc máy tính dạy là dịch và cộng: dịch số bị nhân sang trái một chữ số nhị phân (tức là nhân đôi), và ở mỗi chữ số 1 của số nhân thì cộng bản đã dịch vào kết quả.[29],[30] Đó chính là cách nhân đôi và đánh dấu của người Ai Cập, chỉ là viết bằng 0 và 1. Để nhanh hơn, mạch điện có thể tính tất cả các dòng cùng một lúc rồi cộng lại.[29]

    Thử thách sáng tạo

    🧩 Thử thách sáng tạo

    1. Bậc 1 · Phát hiện

      Dùng máy thử nhân 13 x 24. Máy đánh dấu ✓ ở hai dòng. Các số bên TRÁI của hai dòng ✓ cộng lại bằng bao nhiêu? Con có thấy nó giống số nào trong phép nhân không?

    2. Bậc 2 · Tự kiểm chứng

      Tự làm phép nhân 21 × 13 theo cách Ai Cập trên giấy: viết các dòng 1, 2, 4, 8 và nhân đôi 21 ở cột bên phải, đánh dấu những dòng cần dùng rồi cộng. Kết quả bằng bao nhiêu? Sau đó nhập 21 x 13 vào máy thử để kiểm chứng.

    3. Bậc 3 · Mở rộng

      Hàng trên và cột phải của bảng nhân trên thẻ tre Thanh Hoa chỉ có các số 0,5; 1 đến 9; 10, 20, …, 90. Hãy tính 22,5 × 35,5 theo cách của bảng: tách 22,5 = 20 + 2 + 0,5 và 35,5 = 30 + 5 + 0,5, nhân từng cặp rồi cộng cả 9 ô.

    4. Bậc 4 · Phá vỡ

      Bạn An nói: “Nhân kiểu Ai Cập thì ta nhân đôi số ĐẦU TIÊN. Vậy 13 x 24 và 24 x 13 cho ra các dòng khác nhau, nên kết quả chắc cũng khác nhau.” Hãy nhập cả hai vào máy thử. Kết quả của 24 x 13 là bao nhiêu?

    5. Bậc 5 · Vì sao?

      Khi nhân một số với 100 theo cách Ai Cập, sẽ có bao nhiêu dòng được đánh dấu ✓? Hãy đoán trước, rồi dùng máy đổi hệ đếm ở bài Phép đếm (viết 100 trong hệ 2) để giải thích, và kiểm tra bằng máy thử với 5 x 100.

      Dùng kiến thức: Phép đếm và con số

    6. Bậc 6 · Ghép bài

      Trong bảng nhân 9 của một học trò ở Nippur, dòng “7” ghi 1 3 (một nhóm 60 và 3 đơn vị, tức 63). Nhưng dòng “20” chỉ ghi đúng một ký hiệu: 3. Người Babylon không có dấu chấm hay số 0 ở cuối để cho biết hàng. Vậy số “3” ở dòng 20 thực ra là bao nhiêu trong hệ 10?

      Dùng kiến thức: Phép đếm và con số

    7. Bậc 7 · Con ra đề

      Hãy tự làm một câu đố kiểu bài 79 của giấy cói Rhind: chọn một con số (ví dụ 3 hay 5) và kể một chuỗi “mỗi… có…” (mỗi lớp có 5 tổ, mỗi tổ có 5 bạn, mỗi bạn có 5 cây bút…). Hỏi tổng cộng có bao nhiêu thứ? Giải bằng cách nhân đôi và cộng, rồi đố bạn bè và dùng máy thử để kiểm tra.

      Bài này không có một đáp án duy nhất. Con hãy tự thử, ghi ra giấy, và tự hỏi: “Vì sao lại như vậy?”

    Rễ và cành

    🌱 Rễ — cần biết trước

    🌿 Cành — được dùng ở

    Chưa có mục nào dùng tới — sắp có!

    Nguồn

    1. T. Eric Peet (1923). The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. The University Press of Liverpool / Hodder & Stoughton, London. Xem · nghiên cứu
    2. A. B. Chace, L. Bull, H. P. Manning (1929). The Rhind Mathematical Papyrus, tập II: ảnh chụp, phiên âm, bản dịch sát chữ. Mathematical Association of America, Oberlin. Xem · nghiên cứu
    3. British Museum. Rhind Mathematical Papyrus (EA 10057). Google Arts & Culture. Xem · tham khảo
    4. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. Egyptian Papyri. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    5. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. An overview of Egyptian mathematics. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    6. Bộ Du lịch và Cổ vật Ai Cập. Second Intermediate Period. Xem · tham khảo
    7. Eleanor Robson (2002). More than Metrology: Mathematics Education in an Old Babylonian Scribal School. Trong J. M. Steele & A. Imhausen (chủ biên), Under One Sky (AOAT 297), Ugarit-Verlag, tr. 325–365. Xem · nghiên cứu
    8. Eleanor Robson (2004). Mathematical cuneiform tablets in the Ashmolean Museum, Oxford. SCIAMVS 5: 3–65. Xem · nghiên cứu
    9. Spektrum der Wissenschaft (2003). Viertausend Jahre alte Mathematik-Hausaufgaben. Xem · tham khảo
    10. Christine Proust (2016). Floating calculation in Mesopotamia. Cuneiform Digital Library Preprints 5. Xem · nghiên cứu
    11. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. An overview of Babylonian mathematics. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    12. Musée du Louvre. Code de Hammurabi (Sb 8). Xem · tham khảo
    13. Bộ Văn hoá Pháp. Law Code of Hammurabi. Triển lãm số Jacques de Morgan. Xem · tham khảo
    14. Jane Qiu (2014). Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips. Nature (tin, 7/1/2014); bản đăng lại trên Scientific American. Xem · tham khảo
    15. Jeremy Berlin (2014). World's Oldest Decimal Times Table Found in China. National Geographic. Xem · tham khảo
    16. Đại học Thanh Hoa. Tsinghua Bamboo Slips. Xem · tham khảo
    17. China Daily (2023). Bamboo slips reveal Warring States life. Xem · tham khảo
    18. Archaeology Magazine (2023). Earliest multiplication tables discovered in 2,300-year-old Chinese tomb. Xem · tham khảo
    19. Tân Hoa xã (Xinhua) (2023). China's oldest pithy multiplication formula discovered in Hubei. Bản đăng lại trên chinakongzi.org, 26/12/2023. Xem · tham khảo
    20. China Daily (2019). Xi's moments (đoạn về thẻ gỗ bảng nhân ở Lý Da). Xem · tham khảo
    21. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. Chinese numerals. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    22. Fang Li & Yong Zhang (2015). On Mathematical Symbols in China. arXiv:1511.08033. Xem · nghiên cứu
    23. A. S. Saidan. Al-Uqlīdisī, Abu'l-Ḥasan Aḥmad ibn Ibrāhīm. Dictionary of Scientific Biography. Xem · nghiên cứu
    24. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    25. H. T. Colebrooke (dịch) (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. John Murray, London. Xem · tư liệu gốc
    26. J. J. O'Connor & E. F. Robertson. Bhaskara II. MacTutor History of Mathematics. Xem · tham khảo
    27. David Eugene Smith (1925). History of Mathematics, tập II. Ginn & Co., Boston, tr. 114–117. Xem · nghiên cứu
    28. John Boardley (2019). The First Printed Math Books. I Love Typography. Xem · tham khảo
    29. Jason Tang (2023). Lecture 8: Multiplication (CMSC 411 Computer Architecture). University of Maryland, Baltimore County. Xem · tham khảo
    30. Allan Gottlieb (1997). Computer Architecture, lecture 8 (shifter, multiplier). New York University. Xem · tham khảo